Πλειοψηφικοί συνδυασμοί
Έγιναν λοιπόν οι πολυαναμενόμενες και περιβόητες εκλογές του Μάη του 2012 που θα αποκαθιστούσαν, αυτό ήταν το επιχείρημα, την αρμονία μεταξύ της κυβέρνησης και της θέλησης του λαού. Τελικά όμως τέτοια κυβέρνηση δεν έφεραν ακόμη. Τα κόμματα δε μπόρεσαν να συνεννοηθούν και να συνδυαστούν κατάλληλα ώστε το σχήμα να πάρει την έγκριση της βουλής. Πόσοι όμως ήταν οι δυνατοί βιώσιμοι συνδυασμοί κομμάτων, που αντιστοιχούν δηλαδή σε 151 και πάνω έδρες στη βουλή; Ρώτησα πολλούς εκείνες τις μέρες, η απάντηση που πήρα στη συντριπτική πλειοψηφία ήταν "έ, να μην είναι γύρω στους πέντε δέκα;" Ύστερα, όταν άκουγαν τη σωστή έδειχναν εντυπωσιασμένοι, αν μη τι άλλο γιατί ο μη σχηματισμός κυβέρνησης από τόσους πολλούς συνδυασμούς φαίνεται κάτι σαν αντίστροφος άθλος.
Η σωστή απάντηση είναι 64. Μου θυμίζει την απάντηση "42" στο ερώτημα του Douglas Adams για το νόημα της ζωής. Ας δούμε όμως πώς προκύπτει αυτός ο αριθμός.
Πρώτα πρώτα γίνεται η υπόθεση ότι ισχύει η κομματική πειθαρχία, δηλαδή αν το κόμμα είναι στο συνδυασμό, όλοι οι βουλευτές του θα εγκρίνουν το αντίστοιχο κυβερνητικό σχήμα. Κάθε κόμμα μπορεί να είναι ή να μην είναι μέσα στο συνδυασμό που θα ζητήσει την ψήφο της βουλής, επομένως ισχύει γι' αυτό μια απόφαση του τύπου "ναι/όχι". Όταν είναι να ληφθούν Ν τέτοιες δυαδικές αποφάσεις στη σειρά, οι δυνατοί συνδυασμοί είναι δύο στην Ν-οστή δύναμη, εν προκειμένω Ν=7 κόμματα και οι συνδυασμοί είναι 128, απ' τους οποίους όμως πρέπει να αφαιρεθεί εκείνος που κανένα κόμμα δε συμμετέχει, δηλαδή και οι εφτά σχετικές αποφάσεις είναι αρνητικές. Μένουμε επομένως με 127 συνδυασμούς.
Ας πάρουμε ένα απ' αυτούς τους συνδυασμούς. Οι αντίστοιχες έδρες του στη βουλή ας υποθέσουμε ότι είναι Χ, π.χ. αν πάρουμε τα πρώτα δυο κόμματα βγάζουν 108+52=160 έδρες. Ας πάρουμε τώρα τον "αντίστροφο" συνδυασμό, δηλαδή αυτόν που περιλαμβάνει ακριβώς όλα τα κόμματα που δεν ήταν στον προηγούμενο και δεν περιλαμβάνει κανένα κόμμα απ' αυτά που ήταν στον προηγούμενο. Οι έδρες αυτού του συνδυασμοί είναι εύκολο να δει κανείς ότι είναι 300-Χ. Στο ίδιο παράδειγμα τα υπόλοιπα πέντε κόμματα θα έκαναν ένα συνδυασμό με 140 έδρες. Με άλλα λόγια αν ένας συνδυασμός βγάζει 151 έδρες, ο αντίστροφος βγάζει 149, αν βγάζει 200 έδρες ο αντίστροφος βγάζει 100, κ.ο.κ. Επομένως κάθε συνδυασμός με τον αντίστροφό του αποτελούν ένα ζευγάρι, τέτοιο ώστε ακριβώς ένας από τους δύο να παίρνει πλειοψηφία. Άρα οι μισοί παίρνουν πλειοψηφία και οι μισοί δεν παίρνουν. Γι' αυτό οι συνδυασμοί που παίρνουν πλειοψηφία φαίνονται να είναι 64, το μισό του 128 (όπου λαμβάνουμε υπόψη και τον συνδυασμό που δε μπαίνει κανείς ως αντίστροφο εκείνου που μπαίνουν όλοι).
Η αλήθεια είναι πως έχουμε παραβλέψει μια μικρή λεπτομέρεια, που ίσως δεν έχει αξία για την περίπτωση των περασμένων εκλογών, αλλά είναι απαραίτητη για την ορθότητα του συλλογισμού και για μελλοντική χρήση. Η λεπτομέρεια αυτή είναι πως αν ένας συνδυασμός έχει 150 έδρες ακριβώς, τόσες θα έχει και ο συμμετρικός του, αλλά τότε κανένας απ' τους δύο δε συμπληρώνει 151 έδρες, οπότε μένουν και οι δύο εκτός νυμφώνος. Π.χ. αν στις περασμένες εκλογές το πρώτο κόμμα είχε 98 έδρες, μαζί με τις 52 του δεύτερου θα διέθετε ο συνδυασμός τους 150 έδρες, αλλά ούτε αυτός ο συνδυασμός, ούτε εκείνος των άλλων πέντε παίρνει πλειοψηφία. Όποιος γνωρίζει μαθηματικά π.χ. μπορεί να εξετάσει την εξαιρετικά ακραία περίπτωση εφτά κομμάτων που θα είχαν πάρει τις εξής έδρες: 50, 50, 50, 50, 50, 40, 10. Τότε υπάρχουν 20 συνδυασμοί (οι συνδυασμοί των 6 ανά 3) που συγκεντρώνουν ακριβώς 150 έδρες, οπότε αυτοί που βγάζουν πλειοψηφία είναι μειωμένοι κατά 20/2=10, δηλαδή είναι 54.
Για συνοψίσουμε, αν στη βουλή μπαίνουν Ν κόμματα, οι συνδυασμοί που παίρνουν πλειοψηφία είναι συνήθως οι μισοί απ' το σύνολο των 2 στη Ν-οστή (ήτοι 2^(Ν-1)), ενώ σε ορισμένες εξαιρετικές περιπτώσεις αφαιρούνται μερικοί ακόμη συνδυασμοί. Το ενδιαφέρον είναι ότι το αποτέλεσμα αυτό είναι σχεδόν ανεξάρτητο από την κατανομή των εδρών και εξαρτάται βασικά από τον αριθμό των κομμάτων που μπαίνουν στη βουλή.
Αν είχαμε πάει στην όχι και τόσο απίθανη περίπτωση της δεκακομματικής βουλής όλοι οι συνδυασμοί θα ήταν δύο στη δεκάτη, δηλαδή 1024, κι απ' αυτούς εν γένει θα έπαιρναν πλειοψηφία οι 512. Ο καθένας μπορεί τώρα να κάνει τα σενάριά του για την επόμενη βουλή.
Οι πολυκομματικές βουλές έχουν κατηγορηθεί επανειλημμένα από το δικομματισμό για ακυβερνησία. Δείτε όμως ότι σε όσους έχουν διάθεση για συνεργασία προσφέρουν πολύ περισσότερες ευκαιρίες, που αυξάνονται εκθετικά όσο αυξάνεται ο αριθμός των κομμάτων της βουλής.
Η σωστή απάντηση είναι 64. Μου θυμίζει την απάντηση "42" στο ερώτημα του Douglas Adams για το νόημα της ζωής. Ας δούμε όμως πώς προκύπτει αυτός ο αριθμός.
Πρώτα πρώτα γίνεται η υπόθεση ότι ισχύει η κομματική πειθαρχία, δηλαδή αν το κόμμα είναι στο συνδυασμό, όλοι οι βουλευτές του θα εγκρίνουν το αντίστοιχο κυβερνητικό σχήμα. Κάθε κόμμα μπορεί να είναι ή να μην είναι μέσα στο συνδυασμό που θα ζητήσει την ψήφο της βουλής, επομένως ισχύει γι' αυτό μια απόφαση του τύπου "ναι/όχι". Όταν είναι να ληφθούν Ν τέτοιες δυαδικές αποφάσεις στη σειρά, οι δυνατοί συνδυασμοί είναι δύο στην Ν-οστή δύναμη, εν προκειμένω Ν=7 κόμματα και οι συνδυασμοί είναι 128, απ' τους οποίους όμως πρέπει να αφαιρεθεί εκείνος που κανένα κόμμα δε συμμετέχει, δηλαδή και οι εφτά σχετικές αποφάσεις είναι αρνητικές. Μένουμε επομένως με 127 συνδυασμούς.
Ας πάρουμε ένα απ' αυτούς τους συνδυασμούς. Οι αντίστοιχες έδρες του στη βουλή ας υποθέσουμε ότι είναι Χ, π.χ. αν πάρουμε τα πρώτα δυο κόμματα βγάζουν 108+52=160 έδρες. Ας πάρουμε τώρα τον "αντίστροφο" συνδυασμό, δηλαδή αυτόν που περιλαμβάνει ακριβώς όλα τα κόμματα που δεν ήταν στον προηγούμενο και δεν περιλαμβάνει κανένα κόμμα απ' αυτά που ήταν στον προηγούμενο. Οι έδρες αυτού του συνδυασμοί είναι εύκολο να δει κανείς ότι είναι 300-Χ. Στο ίδιο παράδειγμα τα υπόλοιπα πέντε κόμματα θα έκαναν ένα συνδυασμό με 140 έδρες. Με άλλα λόγια αν ένας συνδυασμός βγάζει 151 έδρες, ο αντίστροφος βγάζει 149, αν βγάζει 200 έδρες ο αντίστροφος βγάζει 100, κ.ο.κ. Επομένως κάθε συνδυασμός με τον αντίστροφό του αποτελούν ένα ζευγάρι, τέτοιο ώστε ακριβώς ένας από τους δύο να παίρνει πλειοψηφία. Άρα οι μισοί παίρνουν πλειοψηφία και οι μισοί δεν παίρνουν. Γι' αυτό οι συνδυασμοί που παίρνουν πλειοψηφία φαίνονται να είναι 64, το μισό του 128 (όπου λαμβάνουμε υπόψη και τον συνδυασμό που δε μπαίνει κανείς ως αντίστροφο εκείνου που μπαίνουν όλοι).
Η αλήθεια είναι πως έχουμε παραβλέψει μια μικρή λεπτομέρεια, που ίσως δεν έχει αξία για την περίπτωση των περασμένων εκλογών, αλλά είναι απαραίτητη για την ορθότητα του συλλογισμού και για μελλοντική χρήση. Η λεπτομέρεια αυτή είναι πως αν ένας συνδυασμός έχει 150 έδρες ακριβώς, τόσες θα έχει και ο συμμετρικός του, αλλά τότε κανένας απ' τους δύο δε συμπληρώνει 151 έδρες, οπότε μένουν και οι δύο εκτός νυμφώνος. Π.χ. αν στις περασμένες εκλογές το πρώτο κόμμα είχε 98 έδρες, μαζί με τις 52 του δεύτερου θα διέθετε ο συνδυασμός τους 150 έδρες, αλλά ούτε αυτός ο συνδυασμός, ούτε εκείνος των άλλων πέντε παίρνει πλειοψηφία. Όποιος γνωρίζει μαθηματικά π.χ. μπορεί να εξετάσει την εξαιρετικά ακραία περίπτωση εφτά κομμάτων που θα είχαν πάρει τις εξής έδρες: 50, 50, 50, 50, 50, 40, 10. Τότε υπάρχουν 20 συνδυασμοί (οι συνδυασμοί των 6 ανά 3) που συγκεντρώνουν ακριβώς 150 έδρες, οπότε αυτοί που βγάζουν πλειοψηφία είναι μειωμένοι κατά 20/2=10, δηλαδή είναι 54.
Για συνοψίσουμε, αν στη βουλή μπαίνουν Ν κόμματα, οι συνδυασμοί που παίρνουν πλειοψηφία είναι συνήθως οι μισοί απ' το σύνολο των 2 στη Ν-οστή (ήτοι 2^(Ν-1)), ενώ σε ορισμένες εξαιρετικές περιπτώσεις αφαιρούνται μερικοί ακόμη συνδυασμοί. Το ενδιαφέρον είναι ότι το αποτέλεσμα αυτό είναι σχεδόν ανεξάρτητο από την κατανομή των εδρών και εξαρτάται βασικά από τον αριθμό των κομμάτων που μπαίνουν στη βουλή.
Αν είχαμε πάει στην όχι και τόσο απίθανη περίπτωση της δεκακομματικής βουλής όλοι οι συνδυασμοί θα ήταν δύο στη δεκάτη, δηλαδή 1024, κι απ' αυτούς εν γένει θα έπαιρναν πλειοψηφία οι 512. Ο καθένας μπορεί τώρα να κάνει τα σενάριά του για την επόμενη βουλή.
Οι πολυκομματικές βουλές έχουν κατηγορηθεί επανειλημμένα από το δικομματισμό για ακυβερνησία. Δείτε όμως ότι σε όσους έχουν διάθεση για συνεργασία προσφέρουν πολύ περισσότερες ευκαιρίες, που αυξάνονται εκθετικά όσο αυξάνεται ο αριθμός των κομμάτων της βουλής.
Comments